Последовательность натуральных чисел. Определение числовой последовательности

Последовательность

Последовательность - это набор элементов некоторого множества:

для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе - отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
последовательности элементов метрического пространства
последовательности элементов функционального пространства
последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Определение

Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).

Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности , а порядковый номер члена последовательности - её индексом.

Связанные определения

Если взять возрастающую последовательность натуральных чисел, то её можно рассматривать как последовательность индексов некоторой последовательности: если взять элементы исходной последовательности с соответствующими индексами (взятыми из возрастающей последовательности натуральных чисел), то можно снова получить последовательность, которая называется подпоследовательностью заданной последовательности.

Обозначения

Последовательности вида

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

или

иногда используются фигурные скобки:

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Последовательность" в других словарях:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова

Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия

Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь

Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии

Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь

Книги

Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им…

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число x n , то говорят, что задана числовая последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

Число x 1 называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности , число x 2 - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число x n называют членом последовательности с номером n .

Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью и с помощью рекуррентной формулы .

Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности

x 1 , x 2 , … x n , …

с помощью формулы, выражающей зависимость члена x n от его номера n .

Пример 1 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

задана с помощью формулы общего члена

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Задание последовательности с помощью формулы, выражающей член последовательности x n через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием последовательности с помощью рекуррентной формулы .

x 1 , x 2 , … x n , …

называют возрастающей последовательностью, больше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n

x n + 1 > x n

Пример 3 . Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n , …

является возрастающей последовательностью .

Определение 2. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют убывающей последовательностью, если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена.

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

x n + 1 < x n

Пример 4 . Последовательность

заданная формулой

является убывающей последовательностью .

Пример 5 . Числовая последовательность

1, - 1, 1, - 1, …

заданная формулой

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Определение 3. Возрастающие и убывающие числовые последовательности называют монотонными последовательностями .

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 5. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m .

Другими словами, для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

Определение 6. Числовую последовательность

x 1 , x 2 , … x n , …

называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

m < x n < M

Определение 7. Числовые последовательности, которые не являются ограниченными , называют неограниченными последовательностями .

Пример 6 . Числовая последовательность

1, 4, 9, … n 2 , …

заданная формулой

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу , например, числом 0. Однако эта последовательность неограничена сверху .

Пример 7 . Последовательность

заданная формулой

является ограниченной последовательностью , поскольку для всех n = 1, 2, 3, … выполнено неравенство

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

Натуральное число является количественной характеристикой одного неизменного множества, однако, на практике количество предметов постоянно меняется, например, поголовье скота в некотором хозяйстве. Более того, простейшая, но и важнейшая последовательность сразу же возникает в процессе счёта – это последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ….

Если изменение количества предметов в некоторой совокупности зафиксировано в виде некоторой последовательности натуральных чисел (членов последовательности), тут же естественным образом возникает ещё одна последовательность – последовательность номеров, например

В связи с этим возникает проблема обозначения членов последовательности. Обозначение каждого члена особой буквой крайне неудобно по следующим причинам. Во-первых, последовательность может содержать очень большое, или даже бесконечное число членов. Во-вторых, разные буквы скрывают тот факт, что члены последовательности относятся к одной совокупности, хотя и меняющей количество элементов. Наконец, в этом случае не будут отражены номера членов в последовательности.

Эти причины заставляют обозначать члены последовательности одной буквой и различать их по индексу. Например, последовательность, состоящую из десяти членов, можно обозначить буквой а : а 1 , а 2 , а 3 , …, а 10 . Тот факт, что последовательность является бесконечной, выражается многоточием, как бы неограниченно продлевающим эту последовательность: а 1 , а 2 , а 3 , … Иногда последовательность начинают нумеровать с нуля: : а 0 , а 1 , а 2 , а 3 , …

Некоторые последовательности могут восприниматься как случайные наборы чисел, поскольку не известен, или вообще отсутствует, закон формирования членов последовательности. Однако особое внимание привлекают последовательности, для которых такой закон известен.

Для указания закона формирования членов последовательности чаще всего используются два способа. Первый из них состоит в следующем. Задается первый член, а затем указывается способ, согласно которому с помощью последнего, уже известного члена получается следующий. Для записи закона используется член последовательности с неопределённым номером, например, а k и следующий за ним член а k +1 , после чего записывается связывающая их формула.

Наиболее известными и важными примерами могут послужить арифметическая и геометрическая прогрессии. Арифметическая прогрессия определяется формулой а k +1 = а k + r (либо а k +1 = а k – r ). Члены арифметической прогрессии либо равномерно растут (лесенкой), либо равномерно убывают (тоже лесенкой). Величина r называется разностью прогрессии, поскольку а k +1 – а k = r . Примерами арифметических прогрессий с натуральными членами являются

а) натуральные числа (а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 1 );

б) бесконечная последовательность 1, 3, 5, 7, … (а 1 = 1 ;а k +1 = а k + 2 );

в) конечная последовательность 15, 12, 9, 6, 3 (а 1 = 15 ;а k +1 = а k –3 ).

Геометрическая прогрессия определяется формулой b k +1 = b k ∙q . Величина q называется знаменателем геометрической прогрессии, поскольку b k +1:b k = q . Геометрические прогрессии с натуральными членами и знаменателем, превосходящим единицу, растут и растут быстро, даже лавинообразно. Примерами геометрических прогрессий с натуральными членами являются

а) бесконечная последовательность 1, 2, 4, 8, … (b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2 );

б) бесконечная последовательность 3, 12, 48, 192, 768,… (b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4 ).

Второй способ указания закона определения членов последовательности состоит в указании формулы, позволяющей вычислить член последовательности с неопределённым номером (общий член), например, а k , с помощью номера k .

Члены арифметической и геометрической прогрессий можно вычислять и этим способом. Поскольку арифметическая прогрессия определяется формулой а k +1 = а k + r , легко понять, как выражается член а k с помощью номера k :

а 1 – определён произвольно;

а 2 = а 1 + r= а 1 + 1∙r ;

а 3 = а 2 + r = а 1 + r + r = а 1 + 2∙r ;

а 4 = а 3 + r = а 1 + 2∙r + r = а 1 + 3∙r ;

…………………………………

а k = а 1 + (k –1)∙r – итоговая формула.

Для геометрической прогрессии аналогичным способом выводится формула общего члена: b k = b 1 ∙ q k –1 .

Кроме арифметической и геометрической прогрессий таким же способом можно определить другие последовательности, имеющие особый характер изменения. В качестве примера приведём последовательность квадратов натуральных чисел: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Существуют более сложные способы образования последовательностей, например, одна строится с помощью другой. Особое значение для арифметики имеет геометрическая прогрессия, определяемая параметрами b 1 = 1, q = 10, то есть последовательность степеней десятки: 1 = 10 0 , 10 = 10 1 , 10 2 , 10 3 , …, 10 k , … Она используется для представления натуральных чисел в позиционной системе счисления. При этом для каждого натурального числа n возникает последовательность, состоящая из цифр, с помощью которых записывается данное число: а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0 . Цифра а k указывает сколько слагаемых типа 10 k содержит число n .

Понятие последовательности подводит к важнейшим для математики понятиям величины и функции. Величина – это изменяющаяся числовая характеристика какого-то предмета или явления. Её изменение воспринимается как последовательность чисел. Существование зависимости между самими членами и их номерами, а также её выражение с помощью формул вплотную подводит к понятию функции.

10. Десятичная система счисления.

Важнейшим математическим открытием, которое используется практически каждым членом достаточно развитого общества, является позиционная система счисления. Она позволила решить основную проблему счёта, состоящую в умении называть все новые и новые числа, используя обозначения (цифры) только для нескольких первых чисел.

Позиционная система счисления традиционно связана с числом десять, но на тех же принципах можно построить и иные системы, например, двоичную. При построении десятичной позиционной системы счисления вводятся десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью может быть записано число, выражающее количество предметов любого конечного множества. Для этой цели используется специальный алгоритм, то есть чётко определённая последовательность элементарных действий.

Пересчитываемые предметы объединяются в группы по десять, что соответствует делению на десять с остатком. В результате образуются два множества – единиц и десятков. Десятки снова группируются по десять в сотни. Ясно, что число десятков (обозначим его через а 1 ) обязательно меньше десяти, и, значит, а 1 можно обозначить цифрой. Далее сотни группируются в тысячи, тысячи – в десятки тысяч и т. д. пока все предметы не будут сгруппированы. Построение числа завершается тем, что слева направо записываются полученные цифры от больших индексов к меньшим. Цифре а k соответствуют количество групп предметов по 10 k . Итоговая запись числа состоит из конечной последовательности цифр а n а n – 1 … а 2 а 1 а 0 . Соответствующее число равно выражению

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0 .

Слово «позиционная» в названии системы счисления связано с тем, что цифра меняет свой смысл в зависимости от своей позиции в записи числа. Последняя цифра задаёт число единиц, предпоследняя – число десятков и т. д.

Отметим, что алгоритм для получения записи чисел в системе счисления с любым основанием N : состоит в последовательной группировке предметов по N штук. При записи числа необходимо использовать N цифр.

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.


1-й класс единицы	1-й разряд единицы 2-й разряд десятки 3-й разряд сотни
2-й класс тысячи	1-й разряд единицы тысяч 2-й разряд десятки тысяч 3-й разряд сотни тысяч
3-й класс миллионы	1-й разряд единицы миллионов 2-й разряд десятки миллионов 3-й разряд сотни миллионов
4-й класс миллиарды	1-й разряд единицы миллиардов 2-й разряд десятки миллиардов 3-й разряд сотни миллиардов

Числа от 5-го класса и выше относятся к большим числам. Единицы 5-го класса — триллионы, 6-го класса — квадриллионы, 7-го класса — квинтиллионы, 8-го класса — секстиллионы, 9-го класса — ептиллионы.

Основные свойства натуральных чисел.