Изображение пространственных фигур. Визуальный гид (2019)

Научить применять полученные знания на практике, по образцу, алгоритму, с подсказкой.
Закрепить умения построения сечений, используя аксиомы стереометрии.
Развивать пространственное мышление учащихся.

Ход урока.

I. Организационная часть.

II. Разбор домашнего задания.

Домашнее задание было по трём уровням сложности

Задача 1 и 2 - первый уровень

Задача 3 и 4 – второй уровень

Задача 5 и 6 – третий уровень

Задача 1. АВСА 1 С 1 – треугольная призма, точка F – середина ребра АВ , точка О лежит на продолжении ребра ВС так, что С расположена между В и О . Постройте сечение призмы плоскостью В 1 FO .

Задача 2. Точка О – середина ребра DD 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Постройте точки пересечения прямых A 1 O и C 1 O с плоскостью основания ABCD и вычислите расстояние между ними, если длина ребра куба 2 см.

Задача 3. Дана треугольная пирамида SABC Точки Р и R лежат на ребрах SA и ВС , точка F лежит на продолжении ребра АС так, что точка С лежит между точками А и F . Постройте сечение пирамиды плоскостью PRF

Задача 4. SABCD - четырехугольная пирамида. Точка Р лежит в грани SCD , а точка F на продолжении ребра DC так, что точка D лежит между F и С . PFB .

Задача 5. DABC - правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 4 см. Точка О - середина ребра DB . Точка F лежит на продолжении ребра ВС так, что С - середина отрезка BF , точка Т лежит на продолжении ребра АС так, что С - середина отрезка AT . Постройте сечение тетраэдра плоскостью FTO и вычислите его периметр.

Задача 6. DABC - треугольная пирамида Точка F лежит на ребре DB , точка Т лежит на продолжении ребра АВ так, что точка А расположена между точками Т и В , а точка R лежит на продолжении ребра CD так, что точка С лежит между точками D и R . Постройте сечение пирамиды плоскостью TFR.

III. Работа по готовым чертежам.

Каждой группе предлагаются задачи в зависимости от уровня сложности. Учащиеся выполняют данные задания, а затем коллективное обсуждение хода решения.

Условие: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

На рисунках изображены правильные параллелепипеды.

Задание первого уровня:

Задание второго уровня :

Задание третьего уровня :

IV. Практическая работа.

Каждой группе даётся основное задание и дополнительное. В дополнительном задании на рисунках изображены треугольные призмы (1 и 2 уровень) и треугольная пирамида (3 уровень).

Работа оценивается учителем с последующей отметкой в журнал.

Задание первого уровня:

В треугольной пирамиде DABC точка О - точка пересечения медиан грани DBC . Точка F лежит на прямой АВ так, что В лежит между точками А и F , а точка Е лежит на прямой АС так, что точка С лежит между А и Е . Постройте сечение пирамиды плоскостью OEF .

PQR

Задание второго уровня:

АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма. Точка О лежит на ребре A 1 C 1 ,. Точка F лежит на продолжении ребра АС так, что С лежит между А и F . Точка К лежит на продолжении ребра АВ так, что В расположена между А и К . Постройте сечение призмы плоскостью OKF .

Дополнительное задание: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

Задание третьего уровня:

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA l B 1 C 1 D 1 - квадрат, длина стороны которого равна 2 см. Точка О - середина бокового ребра DD 1 а точки К и F лежат на продолжении ребер ВС и АВ соответственно так, что ВС = 2СК , AB = 2FA . Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью OFК , если DD 1 = 4 см.

Дополнительное задание: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

V. Домашнее задание.

Учащиеся выбирают соответствующий уровень сложности.

Задание для первого уровня сложности:

Задание для второго уровня сложности:

Задание для третьего уровня сложности:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Стереометрия изучает фигуры в пространстве (не все точки фигуры лежат в одной плоскости).

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются: точка , прямая и плоскость . Плоскость состоит из точек, неограниченно продолжена во все стороны, не имеет толщины, идеально ровная и гладкая. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них выполняются свойства планиметрии. Так, например, признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии, справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях.

Рассмотрим подробное решение нескольких стереометрических задач.

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А 1 , С 1 , А 2 , С 2 соответственно.
Найти ВС 1 , если А 1 В: А 1 А 1 = 1: 3, ВС 2 = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1.

1) Так как А 1 В: А 1 А 2 = 1: 3, то А 1 В = х, А 1 А 2 = 3х.

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А 1 С 1 , а плоскость β – по прямой А 2 С 2 . Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А 1 С 1 и А 2 С 2 .

3) Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется:

ВА 1 /ВА 2 = ВС 1 /ВС 2 .

Кроме того, ВА 2 = ВА 1 + А 1 А 2 , а значит, учитывая пункт 1

ВА 2 = ВА 1 + А 1 А 2 = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС₁/12, то есть ВС 1 = 3.

Ответ: 3.

Задача 2 .

В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1) Проведем АН перпендикулярно DC (рис. 2) , тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC).

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD),
тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН 2 = ЕА 2 + АН 2 ;

ЕА 2 = 16 – 12 = 4;

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

S EAH = (EA · AH)/2 или S EAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК 2 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3.

В треугольнике АВС угол В – прямой, ВС = 2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВDC, АD = √2, угол между плоскостями АВC и ВСD равен 45°. Найти угол (в градусах) между прямой АС и плоскостью (ВDC).

Решение.

1) По теореме о трех перпендикулярах ВD перпендикулярно ВС, тогда угол между плоскостями (АВС) и (ВDC) – есть угол АВD равный 45° (рис. 3) .

2) АС – наклонная, АD – перпендикуляр к плоскости (BCD), CD – проекция АС на плоскость (ВСD), значит угол АСD равен углу между прямой АС и плоскостью (ВDC), то есть угол АСD – искомый.

3) Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольный (угол АВD = 90°):

АВ = АD/sin ABD;

AB = √2/(√2/2) = 2.

4) Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный (угол АВС = 90°). По теореме Пифагора

АС 2 = АВ 2 + ВС 2 ;

АС 2 = 4 + 4 = 8;

5) Рассмотрим треугольник АСD – прямоугольный (угол ADC = 90°):

так как АD = 1/2 АС, то угол АСD = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 4.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найти угол (в градусах) между АВ 1 и ВD 1 .

Решение.

Рассмотрим рис. 4.

1) Прямая АВ 1 содержится в плоскости (АА 1 В 1), прямая ВD 1 пересекает плоскость (АА 1 В 1) в точке В, но В не принадлежит АВ 1 , значит прямые АВ 1 и ВD 1 скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых) (рис. 4) .

2) Введем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке В и единичным отрезком, равным по длине ребру куба.

3) Определим координаты точек B, D 1 , A, B 1 в заданной системе координат:

B 1 (0; 0; 1), тогда вектор BD 1 {1; 1; 1}, а вектор АВ 1 – {-1; 0; 1}.

4) Найдем скалярное произведение векторов ВD 1 и АВ 1:

ВD 1 и АВ 1 = 1 · (-1) + 1 · 0 + 1 · 1 = 0.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то они взаимно перпендикулярны, значит, угол между АВ 1 и ВD 1 равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 5.

Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти значение выражения √3 · V, где V – объем пирамиды.

Решение.

Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат ABCD (рис. 5) .

1) Высота пирамиды РО проецируется в центр основания (точку О – точку пересечения диагоналей квадрата АВСD).

2) Угол между прямой РС и плоскостью (АВС) равен плоскому углу РСО и равен 60°.

3) Рассмотрим треугольник РОС – прямоугольный (угол РОС = 90°):

РО = РС · sin PCO;

OC = PC · cos PCO;

PO = 8 · √3/2 = 4√3;

OC = 8 · 1/2 = 4.

4) Рассмотрим квадрат ABCD:

АС = 2 · ОС = 2 · 4 = 8, тогда S ABCD = d 2 /2, где d – диагональ квадрата, то есть S ABCD = 64/2 = 32.

5) V = 1/3 S осн · h;

V = 1/3 · 32 · 4√3 = 128√3/3.

6) √3 · V = √3 · 128√3/3 = 128.

Ответ: 128.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи по стереометрии?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Лекция по теме «Предмет стереометрии»

Предмет стереометрии

Геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур.

Школьный курс геометрии подразделяется на два раздела: планиметрию и стереометрию.

Планиметрия – раздел геометрии, который изучает свойства геометрических фигур на плоскости.

Планиметрию мы изучали в 7-9 классах.

В этом году мы начинаем изучать второй раздел геометрии - стереометрию

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур в пространстве.

Слово "стереометрия" происходит от греческих слов "стереос" объемный, пространственный и "метрио" измерять.

В стереометрии рассматриваются математические модели тех материальных объектов, с которыми имеют дело архитекторы, конструкторы, строители и другие специалисты.

Кроме того, школьный курс стереометрии служит основой для черчения и начертательной геометрии – важнейших дисциплин любого технического вуза.

Основные фигуры стереометрии

Итак, стереометрия изучает свойства геометрических фигур в пространстве.

Геометрических фигур в пространстве.

называют телами.

В стереометрии мы будем изучать свойства геометрических тел, вычислять их площади и объемы.

При изучении пространственных фигур используются их изображение на чертеже.

Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения.

Обычно выбирают то из них, которое наиболее удобно для исследования ее свойств.

На экране вы видите многогранники – куб, параллелепипед и пирамида, тела вращения – шар, конус и цилиндр.

При изображении пространственных фигур невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями.

С чего начинается стереометрия?

Также как планиметрия.

Планиметрию мы начинали изучать с основных понятий, фигур и аксиом.

Основные понятия стереометрии

Во-первых, это точка и прямая, как в планиметрии. И еще добавляется плоскость.

Итак, основными понятиями стереометрии являются: тоска, прямая, плоскость. Они принимаются без определений.

Новым для нас понятием является плоскость.

Плоскость, как и прямая в планиметрии, бесконечна. Она простирается во все стороны на неограниченное расстояние.

Геометрическими моделями части плоскости являются, например, поверхность стола, доски и т. д.

Изображают плоскости в виде параллелограмма, либо в виде произвольной области.

Обозначение, которые мы будем применять.

Точки. Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами A , B , C ….

На экране изображены 4 точки. Они обозначены буквами A , B , C и D

Прямые. Прямые обозначают строчными латинскими буквами a , b , c …, или двумя прописными латинскими буквами AB , CD , …

Во втором случае используются обозначения

двух точек, через которые прямая проходит.

На экране вы видите прямую a . На ней лежат точки M и N .

Прямая a может быть также обозначена как MN .

Плоскости. Плоскости обычно обозначают строчными греческими буквами (альфа, бета, гамма, дельта, …)

Плоскости также можно называть по трем точкам, через которые плоскости проходят.

Например, на экране плоскость синего цвета обозначена как α, она же может называться ABC .

Плоскость бежевого цвета обозначена β, она же может быть обозначена как KLN или KLM . Берутся любые три точки, через которые плоскость проходит.

Так же, как и в планиметрии, в стереометрии мы будем применять для точек знак: (принадлежит плоскости), а для прямых знак: (лежит в плоскости).

Перечеркнутые знаки означают отрицание – не принадлежит плоскости, не лежит в плоскости.

На рисунке вы видите, что две точки A и B принадлежат плоскости α (плоскость проходит через эти точки), а точки M, N, K не принадлежат этой плоскости (плоскость не проходит через эти точки).

Коротко это записывается так:

Точка А принадлежит плоскости α, точка B принадлежит плоскости α.

Точка M N не принадлежит плоскости α, точка K не принадлежит плоскости α.

На этом уроке мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрией.

Узнали, что основными понятиями стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Вспомнили, как изображаются точки и прямые. Узнали как изображается и обозначается плоскость.

Переходим к решению задач.

Задача 1.

Дано:

Точки A , B , C и D не лежащие в одной плоскости.

Указать плоскости, которым принадлежит:

а) прямая AB ;

б) точка F ;

в) точка C .

Решение.

а) Прямая AB лежит в двух плоскостях: ABC и ABD ;

б) Точка F принадлежит плоскостям: ABC и BCD ;

в) Точка C принадлежит трем плоскостям: ABC , BCD , ACD .

При построении чертежа в стереометрической задаче мы изображаем объемную фигуру с помощью плоского чертежа. Мы это делаем с помощью параллельного проектирования.

Если вы знаете, что такое театр теней, то легко поймете, что такое параллельное проектирование.

В театре теней на объемную фигуру направляется свет, и в результате на экране (то есть на плоскости) появляется плоское изображение. Может получиться так:

А если говорить о стереометрических фигурах, то так (представьте, что на каркас пирамиды справа направляется свет):

Остановимся на этом рисунке подробнее и дадим определение параллельной проекции точки на плоскость. Вектора , , и коллинеарны и задают направление проектирования.

Проведем через вершины пирамиды прямые, параллельные этим векторам. Точки пересечения этих прямых с плоскостью являются проекциями соответствующих точек пирамиды на плоскость :

Точка - проекция точки ;

точка - проекция точки ;

точка - проекция точки

и точка - проекция точки

Форма плоской фигуры, которую мы получаем при проектировании объемной зависит от направления проектирования и от расположения объемной фигуры. Но мы не можем из чего угодно получить что угодно. Параллельное проектирование подчиняется определенным правилам.

А именно:

1. Параллельной проекцией прямой или отрезка будет прямая или отрезок.

2. Параллельные проекции параллельных отрезков либо параллельны друг другу, либо лежат на одной прямой.

3. Если точка делит отрезок в данном отношении, то проекция точки будет делить проекцию отрезка в том же отношении.

То есть при параллельном проектирование сохраняется параллельность и пропорциональность отрезков.

Когда мы делаем чертеж стереометрической фигуры, мы делаем чертеж ее параллельной проекции. При этом ребра объемной фигуры, которые невидимы, мы изображаем пунктирными линиями. На рисунке выше мы видим изображение проекции каркаса треугольной пирамиды . Ребро пирамиды невидимо для нас. Соответственно, ребро проекции мы изображаем пунктирной линией.

Внимание! При параллельном проектирование не сохраняются ни углы, ни длины отрезков, ни отношения длин неколлинеарных отрезков (то есть отрезков, которые не лежат на параллельных прямых, или на одной прямой). Поэтому глядя на изображение проекции мы не можем определить соотношение отрезков и углов.

При изображении стандартных геометрических тел на плоскости нужно следить за тем, чтобы ребра и диагонали были все видны и не накладывались друг на друга.

В общем случае удобно строить в такой последовательности.

1. Начинаем с основания фигуры.

Если в основании треугольник, то вне зависимости от вида треугольника рисуем тупоугольный не равнобедренный треугольник, например, такой:

или такой:

Если в основании прямоугольник или параллелограмм, то чертим параллелограмм. Удобно, чтобы величина острого угла на чертеже была около , в этом случае диагональ не наложится на сторону основания:

Если в основании трапеция, то чертим не равнобедренную трапецию. Тоже стараемся острый угол сделать поострее:

Если в основании круг, то чертим эллипс:

Если в основании правильный шестиугольник, то чертим проекцию правильного шестиугольника. Следим за тем, чтобы противоположные стороны шестиугольника были параллельны. Построение проекции правильного шестиугольника, как правило, вызывает наибольшие трудности. Поэтому если в вашем распоряжении есть листок в клеточку, то удобно строить по такому образцу:

2. Далее, если нужно построить прямую призму или прямой цилиндр, то из всех вершин основания проводим равные между собой вертикальные отрезки - это боковые ребра призмы или образующие цилиндра. В случае построения куба боковое ребро равно длине большей стороны параллелограмма, который изображен в основании:

3. Соединяем концы вертикальных отрезков и получаем верхнее основание:

4. Невидимые ребра изображаем пунктирными линиями:

В случае наклонной призмы или наклонного цилиндра боковые ребра изображаются параллельными отрезками:

5. При построении пирамиды или конуса сначала находим примерное расположение проекции вершины на плоскость основания. В треугольнике это может быть точка пересечения медиан, в прямоугольнике или шестиугольнике - точка пересечения диагоналей: