В этой статье мы обсудим делители и кратные . Здесь мы дадим определения делителя и кратного числа. Эти определения нам позволят привести примеры делителей и кратных различных целых чисел. Отдельно рассмотрим делители единицы и минус единицы, а также поговорим о делителях и кратных нуля.
Навигация по странице.
Делители числа – определение, примеры
Сначала дадим определение делителя целого числа.
Определение.
Делителем целого числа a называется целое число b , на которое a делится нацело.
Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1 . Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1 . В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа .
Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a , отличного от 1 , а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе ). То есть, для любого натурального числа a любой его положительный делитель b удовлетворяет условию .
Кратные числа – определение, примеры
Дадим определение кратного .
Определение.
Кратное целого числа b – это целое число a , которое делится на b нацело.
Иными словами, кратное целого числа b – это такое целое число a , которое может быть представлено в форме a=b·q , где q – некоторое целое число.
Если a является кратным целого числа b , то говорят, что a кратно b . При этом применяют обозначение ab .
Определение кратного и делимого явно указывает на существующую между ними связь. Действительно, по определению если a – кратное числа b , то b – делитель числа a , и наоборот, если b – делитель числа a , то a – кратное числа b .
Приведем примеры кратных . Например, целое число −12 есть кратное числа 3 , так как −12=3·(−4) . Другими кратными числа 3 являются целые числа 0 , 3 , −3 , 6 , −6 , 9 , −9 и так далее. А вот число 7 не является кратным целого числа 3 , так как 7 не делится на 3 без остатка, то есть, не существует такого целого числа q , чтобы выполнялось равенство 7=3·q .
Из определения кратного числа понятно, что нуль является кратным любого целого числа b , в том числе и нуля. Равенство 0=b·0 в этом случае выглядит очень доказательно.
Отметим, что существует бесконечно много кратных любого целого числа b , так как целых чисел бесконечно много, и любое целое число, равное произведению b·q , где q – произвольное целое число, является кратным числа b .
Наименьшим положительным кратным данного положительного числа a является само это число a . Здесь же стоит обратить внимание на то, что наименьшее положительное кратное не стоит путать с наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел.
Дальше мы можем рассматривать лишь натуральные кратные целых положительных чисел. Это мы можем делать в силу тех же причин, которые были упомянуты в первом пункте этой статьи, при этом общность изложения не будет нарушена.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.
§ 1 Делитель и кратное – определение понятий
В этом уроке Вы узнаете, что такое делитель и что такое кратное натуральных чисел, и научитесь находить их.
Давайте вспомним, какие числа называются натуральными? Это те числа, которые используются при счете, например: 1, 2, 3, 4…
Давайте решим задачу:
Летом трое мальчиков пошли на рыбалку и поймали 9 щук. Весь улов они сложили в одно ведро. Щук решили поделить поровну. Сколько рыб получит каждый мальчик?
Следовательно, каждый мальчик получит по 3 рыбы.
Говорят, что 3 является делителем числа 9, так как 9 делится на 3 без остатка.
А теперь давайте посмотрим, что получится, если мальчиков будет не трое, а четверо.
В этом случае всю рыбу необходимо разделить на четверых
9:4=2 (1 в остатке), т.е. каждый мальчик получит по 2 щуки и одна рыба останется в ведре. Значит, число 4 не является делителем числа 9, так как 9 не делится на 4 без остатка.
Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.
Заметим также, что на единицу любое натуральное число делится без остатка, поэтому 1 является наименьшим делителем для всех натуральных чисел. А наибольшим делителем для любого натурального числа является само число.
Следовательно, натуральное число 9 имеет три делителя: 1, 3, 9.
Именно на эти числа 9 делится без остатка. 9:1=9, 9:3=3, 9:9=1.
Теперь вернемся к условиям нашей задачи:
Трое ребят поделили 9 щук между собой поровну, каждый получил по 3 рыбы.
Говорят, что число 9 кратное числа 3, так как 9 на 3 делится без остатка.
Давайте немного изменим условия задачи:
А если бы они поймали 10 щук? Сколько рыб получил бы каждый?
10:3=3 (1 в остатке)
В этом случае каждый мальчик получил бы по 3 рыбы, и 1 щука осталась бы в ведре. Число 10 не является кратным числа 3, так как 10 не делится на 3 без остатка.
Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится на а без остатка.
§ 2 Нахождение делителя и кратного
Необходимо правильно употреблять слова кратно и кратное.
Обычно говорят: число девять кратно числу три или девять кратно трем.
При использовании слова «кратное»: число девять кратное числа три или девять кратное трех.
Существует множество натуральных чисел, которые делятся на 3 без остатка, например: 3, 12, 39, 96 и т.д. Все эти числа являются кратными числа 3.
Получить их очень легко, необходимо 3 умножить на 1, 2, 3, 4 и т.д.
Например: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12 и т.д.
Таким образом, любое натуральное число имеет бесконечное число кратных. Отметим, что наименьшим кратным для любого натурального числа является само число.
Но в то же время число 3 для чисел 3, 6, 9, 12 и т.д. будет являться делителем. Числа, которые одновременно являются делителями некоторых чисел, называются их общими делителями.
Таким образом, на уроке мы познакомились с понятиями делитель и кратное натуральных чисел и научились находить их.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 2013. - 288 с.
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Минаева С.С. - 2014.
- Математика. 6 класс. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2009.
Эта статья посвящена делителям и кратным. Здесь мы объясним данные понятия, сформулируем определения, приведем примеры делителей и различных кратных чисел (рассмотрим пока только целые числа). Отдельно остановимся на делителях 1 и - 1 , а также делителях и кратных 0 .
Основные определения
Для начала сформулируем определения для целого числа.
Определение 1
Делитель целого числа a есть такое число b , на которое можно разделить a без остатка.
Если вспомнить такое понятие, как делимость, то данную формулировку можно слегка изменить.
Определение 2
Делитель целого числа a – это такое число b , которое в сочетании с некоторым числом q делает справедливым равенство a = b · q .
Когда мы говорим о числе b , являющимся делителем целого числа a , это значит, что b делит a , что можно записать кратко как b | a или b \ a .
Согласно определению целых чисел, а также свойствам умножения целых чисел, любое целое число можно разделить на единицу и на себя, то есть a = a · 1 и a = 1 · a . Зная свойства умножения, мы можем также вывести равенства a = (− a) · (− 1) и a = (− 1) · (− a) . Из них следует, что у a будет еще два делителя, равных − a и − 1 . Следовательно, целое число a мы всегда можем разделить на a , − a , 1 и − 1 . К примеру, число 12 делится на 12 , - 12 , 1 и - 1 .
Остановимся на делителях таких чисел, как нуль, единица и минус единица. Поскольку нам знакомы свойства делимости, то мы можем заключить, что делителем 0 может стать любое целое число (включая сам 0), а единица и минус единица имеют только делители, равные 1 и − 1 соответственно.
Таким образом, 0 всегда будет иметь бесконечно большое число делителей в виде целых чисел (сюда входит и нуль), а у 1 и − 1 будут только 2 делителя – единица и минус единица. Минимальное количество делителей для любого целого числа a равно четырем. В их число входят a , − a , 1 и − 1 .
Какие еще можно привести примеры делителей в случае с целыми числами?
Пример 1
Так, 8 можно разделить на - 2 , поскольку равенство 8 = (− 2) · (− 4) верное (если нужно, повторите материал об умножении целых чисел). Восьмерку мы также можем разделить на − 8 , − 4 , − 1 , 1 , 2 , 4 , 8 , а вот - 3 не входит в состав делителей, поскольку числа q , при котором равенство 8 = (− 3) · q было бы верным, не существует. То есть разделить 8 на - 3 мы можем только с остатком. Кроме указанных делителей, мы не можем разделить восьмерку ни на какие целые числа без остатка.
Рассмотренные выше примеры говорят нам о том, что в качестве делителей целого числа могут выступать не только положительные, но и отрицательные целые числа. Эта возможность обоснована одним из свойств делимости: если b – делитель целого числа a , то и противоположное число - b тоже будет его делителем. Следовательно, можно разбирать только случаи с положительными делителями и просто распространять полученные результаты на отрицательные.
Вспомним также и другое свойство делимости, которое гласит, что если целое число b будет делителем a , то a можно разделить и на - b , следовательно, множества делителей для положительного и отрицательного a будут совпадать. Это правило опять же подтверждает возможность работы только с положительными числами для простоты и краткости вычислений.
У единицы есть только один положительный делитель – сама единица. Этим 1 отличается от остальных натуральных чисел, поскольку другие имеют не меньше 2 делителей: кроме единицы их можно разделить на числа, равные им самим. В зависимости от того, имеются ли делители, отличные от самого числа и единицы, различают числа простые и составные.
Наименьший положительный делитель числа a – это единица (если само число a не равно 1),
а число a – наибольший положительный делитель самого себя (подробнее о сравнении трех и более натуральных чисел мы писали в отдельной статье). Таким образом, для любого натурального a положительный делитель b будет соответствовать условию 1 ≤ b ≤ a . Важную роль здесь также играет наибольший общий делитель (НОД), о котором мы поговорим отдельно.
Понятие кратных чисел
Начнем, как всегда, с определения.
Определение 3
Число a называется кратным b , если его можно разделить на b без остатка.
Другими словами, кратное b число является некоторым числом a , для которого будет верным равенство a = b · q (здесь q – некоторое целое число). Если у нас есть a , которое по отношению к b является кратным, мы говорим, что a кратно b . Записать это можно так: a ⋮ b .
Между кратным и делимым существует вполне определенная связь. На самом деле, если a является кратным b , то b будет делителем данного числа, и наоборот.
Возьмем несколько примеров кратных чисел.
Пример 2
Так, - 12 будет кратно трем, поскольку − 12 = 3 · (− 4) . У тройки есть много других кратных, например, 0 , 3 , − 3 , 6 , − 6 , 9 , − 9 и др. А 5 не будет кратным 3 , поскольку нет такого q , при котором было бы верным равенство 7 = 3 · q .
Согласно определению кратных чисел, 0 будет кратным по отношению к любому b , в том числе и нулевому. Доказательством является равенство 0 = b · 0 , ведь умножение любого числа на нуль дает в итоге нуль.
Также уточним, что для любого целого числа b существует бесконечно много кратных, и любое целое число, соответствующее произведению b · q , где q – любое целое число, будет кратным b .
Наименьшее положительное кратное положительного числа есть само это число. Обратите внимание, что наименьшее кратное в этом случае не нужно путать с наименьшим общим кратным для нескольких чисел (НОК).
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
